Deducir los Senos y los Cosenos
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(M-9) Deducir los Senos y los Cosenos
Deducir el seno o el coseno de un ángulo arbitrario, necesita
algo más de matemáticas que las tratadas aquí. Sin
embargo, deducirlos de algunos ángulos especiales es relativamente
directo.
Ángulos Complementarios Primero observe que un triángulo rectángulo tiene dos
ángulos. Como los tres ángulos (de cualquier triángulo)
suman 180º, los dos ángulos agudos suman 90º. Por lo que
resulta que si uno de los ángulos es de A grados, el otro (su "ángulo
complementario") es de (90º-A).
El seno y el coseno se definen con las siguientes relaciones:
sen A = (lado opuesto a A)/(lado largo)
cos A = (lado adyacente a A)/(lado largo)Como el lado opuesto a A es el adyacente a (90°- A),
resulta que el seno de un ángulo es el coseno del
otro y viceversa:
sen A = a/c = cos (90° - A)
cos A = b/c = sen (90° - A)Esto es de gran ayuda: deducir, por ejemplo, el seno y el coseno de
30º nos proporciona el seno y el coseno de 60°.
(1) A = 45° Si A = 45°,
entonces también (90° - A) = 45°, y por consiguiente
Elevando al cuadrado
Sin embargo, anteriormente se halló que para cualquier ángulo
A
Por lo tanto
2 sen2 45° = 1
sen2 45° = 1/2 y si √ significa "raíz cuadrada de"
Pulsando el botón de su calculadora obtiene
sen 45° = 0.707107... = cos 45° Otra forma, algo más transparente, es escribir
sen2 45° = 1/2 = 2/4
sen 45° = √(2)/√(4) = √(2)/2 La raíz cuadrada de 2 es 1.4142135..., dividiéndola por dos
se obtiene, como antes, 0.707107.
(2) A = 30°, (90° - A) = 60° Considere el triángulo
PQR (dibujo) con los tres ángulos iguales a 60°. Por simetría,
los tres lados son también iguales (existe una comprobación
más rigurosa, pero la obviamos). Dibuje una línea QS perpendicular
a PR: divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos
con los ángulos agudos de (30°, 60°), que son del tipo que
nos interesa. Por simetría, los triángulos son de igual tamaño
y forma ("congruentes") y por consiguiente, (obviando cualquier otra comprobación)
En la notación del dibujo
a = (1/2) c
a/c = 1/2 = sen 30° = cos 60° Continuando
Pero
Así que
Restando 1/4 de ambos lados
cos2 30° = 3/4
cos 30° = √(3)/ √(4) = √(3)/2 =
1.7320508/2
cos 30° = 0.8660254 = sen 60° (3) A = 90° , (90° - A) = 0 Será bastante
más difícil dibujar un triángulo rectángulo
con un segundo ángulo también de 90º, debido a que el
tercer ángulo deberá ser de 0º. Pero podemos visualizar
este extraño triángulo como un caso límite
de triángulos finos con un ángulo A que es muy pronunciado
y su complementario (90° - A) muy pequeño (dibujo). En el caso
límite
cos A = b/c = 0y como
1 = sen2A + cos2A = sen2A + 0resulta que
sen2A = 1 sen A = 1Por consiguiente
cos 90° = sen 0° = 0
sen 90° = cos 0° = 1 |
En la tabla completa se lee
| A |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
| sen A |
0 |
0.5 |
0.707107 |
0.866025 |
1 |
| cos A |
1 |
0.866025 |
0.707107 |
0.5 |
0 |
Podrá dibujar una buena gráfica de los senA y
cosA usando los puntos anteriores
(4) Postgraduado: A = 15°, (90° - A) = 75°
Las deducciones y tabla anteriores un procedimiento estándar
en cualquier curso o texto de trigonometría. Sin embargo observará
los huecos entre 0° y 30°, y entre 60° y 90°. Si
queremos que el ángulo A se incremente en pasos iguales de 15o,
necesitaremos los senos y cosenos de 15° y 75°.
¿Está interesado? Aquí está lo que deberemos
hacer; ¡tome su calculadora!
Dibuje un triángulo ABC, con un ángulo A igual a 30°
y los dos ángulos de la base igual a 75° ambos. Luego dibuje
la línea BD perpendicular a AC (vea el dibujo de la derecha).
Por simetría, los lados AB y AC tienen la misma longitud; denomine
la longitud por la letra a.
El triángulo ABD tiene ángulos de 90, 60 y 30 grados,
y es del tipo examinado anteriormente. Obtenemos
BD = a sen 30° = 0.5 a
AD = a cos 30° = 0.866025 aLuego
DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a Ahora mire el triángulo
BDC: sus ángulos mayores son iguales a 90° y 75°,
obligando al ángulo restante a ser igual a 15°. Usando el
teorema de Pitágoras, si denominamos c al lado más largo,
obtenemos
BD2 + CD2 = c2 = (0.5 a)2
+ (0.133975 a)2
= 0.25 a2 + 0.0179493 a2 = 0.2679493 a2Extrayendo la raiz cuadrada
c = 0.517638 aPor esto, a 5 decimales (e implicando igualmente al ángulo complementario
de 75° )
sen 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75°
cos 15° = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sen 75°Ahora vaya y dibuje su gráfica. |
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